Muss ich nach der DSGVO 2018 von jedem Patienten, der mir mit einem gültigen Überweisungsschein zugewiesen wird, einen Verarbeitungsvertrag für personenbezogene Daten unterschreiben lassen?

Nein.
Der Abschluss eines Vertra­ges zur Auftrags­ver­a­r­bei­tung ist immer nur dann notwen­dig, wenn Dritte als Dienst­leis­ter die perso­nen­be­zo­ge­nen Daten im Auftrag des Verant­wort­li­chen vera­r­bei­ten, z. B. die Praxis­soft­ware warten oder Akten- und Daten­trä­ger nach Ablauf der Aufbe­wah­rungs­frist vernich­ten.